Власний посібник доктора Монтессорі - Реставрація # [Розділ 06 - Арифметика](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/Chapter+06+-+Arithmetic#chapter-06---arithmetic) Діти володіють усіма інстинктивними знаннями, необхідними для підготовки до чітких уявлень про лічбу. Ідея кількості була властива всім матеріалам для виховання почуттів: довшим, коротшим, темнішим, світлішим. Концепція тотожності та відмінності була частиною фактичної техніки виховання почуттів, яка починалася з розпізнавання ідентичних об’єктів і продовжувалась упорядкуванням у градації подібних об’єктів. Зроблю окрему ілюстрацію першої вправи з суцільними вставками, яку зможе виконати навіть дитина двох з половиною років. Коли він робить помилку, вставляючи циліндр у занадто великий для нього отвір, і таким чином залишає  ***один***  циліндр без місця, він інстинктивно поглинає ідею відсутності  ***одного .*** з безперервного ряду. Дитячий розум не підготовлений до числа «певними попередніми ідеями», поспіхом даними вчителем, а підготовлений до нього процесом формування, повільним розбудовою самого себе. Щоб безпосередньо приступити до навчання арифметиці, ми повинні звернутися до того самого дидактичного матеріалу, який використовується для виховання почуттів. Давайте розглянемо три набори матеріалу, які представлені після вправ із суцільними вставками,  *тобто* матеріал для навчання  *розміру*  (рожеві кубики),  ***товщини***  (коричневі призми) і  ***довжини***  (зелені стрижні). Існує певний зв’язок між десятьма частинами кожної серії. У матеріалі для довжини найкоротший шматок є  ***одиницею вимірювання***  для всіх інших; друга частина вдвічі більша за першу, третя втричі більша за першу тощо, і, хоча масштаб довжини збільшується на десять сантиметрів для кожної частини, інші розміри залишаються постійними ( *тобто* всі стрижні мають однаковий перетин) . Тоді фігури стоять у такому самому відношенні одна до одної, як природний ряд чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 і 10. У другому ряді, а саме тому, що показує  ***товщину*** , тоді як довжина залишається незмінною, квадратний переріз призм змінюється. Результатом є те, що сторони квадратних перетинів змінюються відповідно до ряду натуральних чисел,  *тобто*, у першій призмі квадрат перерізу має сторони один сантиметр, у другій — два сантиметри, у третій — три сантиметри і т. д. і так до десятої, у якій квадрат перерізу має сторони. на десять сантиметрів. Таким чином, призми знаходяться в тій самій пропорції одна до одної, що й числа в ряду квадратів (1, 4, 9 і т. д.), тому що потрібно чотири призми першого розміру, щоб зробити другий, і дев’ять, щоб зробити другий. третій і т. д. Таким чином, шматки, які складають серію для визначення товщини, знаходяться в наступному співвідношенні: 1 : 4 : 9 : 16 : 25 : 36 : 49 : 64 : 81 : 100. У випадку з рожевими кубиками ребро збільшується відповідно до числового ряду,  *тобто* перший кубик має ребро один сантиметр, другий — два сантиметри, третій — три сантиметри і так далі до десятого кубика, який має край десять сантиметрів. Отже, відношення об’єму між ними є співвідношенням кубів ряду чисел від одного до десяти,  *тобто* 1:8:27:64:125:216:343:512:729:1000. Насправді, щоб створити об’єм другого рожевого кубика, знадобиться вісім перших маленьких кубиків; щоб скласти обсяг третього, знадобиться двадцять сім і так далі.  > Мал. 40.––Діаграма, що ілюструє використання числових стержнів. Діти інтуїтивно розуміють цю різницю, оскільки вони розуміють, що вправа з рожевими кубиками є  ***найлегшою***  з усіх трьох, а вправа зі стрижнями найважча. Коли ми починаємо безпосереднє навчання лічбі, ми вибираємо довгі прути, видозмінюючи їх, однак, поділяючи їх на десять ділянок, кожні десять сантиметрів у довжину, почергово червоних і синіх кольорів. Наприклад, чітко видно, що стрижень, який у чотири рази довший за перший, складається з чотирьох однакових довжин, червоного та синього; і так само з усіма іншими. Коли стрижні розставлені в порядку градації, ми навчаємо дитину цифрам: один, два, три і т. д., торкаючись стрижнів послідовно, від першого до десяти. Потім, щоб допомогти йому отримати чітке уявлення про числа, ми переходимо до розпізнавання окремих стрижнів за допомогою звичайного уроку в три періоди. Перші три прути кладемо перед дитиною і, вказуючи на них або беручи по черзі в руку, показуємо йому, говоримо: * Т: «Це  ***один*** ». * Т: «Це  ***два*** ». * Т: «Це  ***три*** ». * Вказуємо пальцем поділки в кожному стрижні, пораховуючи їх, щоб переконатися, * Т: «Один, два: це  ***два*** ». * Т: «Один, два, три: це  ***три*** ». * Тоді ми говоримо дитині: * Т: «Дай мені  ***два*** ». * Т: «Дай мені  ***один*** ». * Т: «Дай мені  ***три*** ». * Нарешті, вказуючи на стрижень, ми говоримо: * Т: "Що це?" * Дитина відповідає, * C: «Три», * і рахуємо разом: * Т: «Раз, два, три». * Таким же чином ми навчаємо всі інші стрижні в їхньому порядку, завжди додаючи ще одну або дві відповідно до сприйнятливості дитини. Важливість цього дидактичного матеріалу полягає в тому, що він дає чітке уявлення про  ***числа*** . Бо коли число названо, воно існує як об’єкт, єдність сама по собі. Коли ми говоримо, що людина володіє мільйоном, ми маємо на увазі, що вона має  ***статок***  , який коштує стільки одиниць виміру вартості, і всі ці одиниці належать одній людині. Отже, якщо ми додаємо 7 до 8 (7 + 8), ми додаємо  ***число до числа*** , і ці числа з  ***певної***  причини представляють себе як групи однорідних одиниць. Знову ж таки, коли дитина показує нам 9, він тримає в руках негнучкий стрижень — об’єкт, який сам по собі закінчений, але складається з  ***дев’яти рівних частин .*** які можна порахувати. І коли він прийде додати 8 до 2, він покладе один біля одного два стрижні, два предмети, один з яких має вісім однакових довжин, а інший — два. Коли, з іншого боку, у звичайних школах, щоб полегшити обчислення, вони дають дитині різні предмети для рахунку, такі як квасоля, кульки тощо, а коли, якщо взяти випадок, який я процитував (8 + 2 ), він бере групу з восьми кульок і додає до неї ще дві кульки, природне враження в його голові полягає не в тому, що він додав 8 до 2, а в тому, що він додав 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 до 1 + 1. Результат не такий однозначний, і від дитини вимагається докласти зусиль, щоб утримати в своєму розумі ідею групи з восьми предметів як  *єдиного  **цілого*** , що відповідає одному числу 8. Це зусилля часто повертає дитину назад і затримує її розуміння чисел на місяці або навіть роки. Додавання та віднімання чисел до десяти значно спрощується завдяки використанню дидактичного матеріалу для навчання довжин. Нехай перед дитиною постане приваблива задача розташувати частини таким чином, щоб мати набір стрижнів, усі такі ж, як найдовші. Спочатку він розташовує прути в правильному порядку (довгі сходи); потім він бере останній стрижень (1) і кладе його поруч із 9. Так само він бере останній стрижень (2) і кладе його поряд із 8, і так далі до 5. Ця дуже проста гра являє собою додавання чисел у межах десятка: 9 + 1, 8 + 2, 7 + 3, 6 + 4. Потім, коли він повертає палички на свої місця, він повинен спочатку забрати 4 і поставити повертає його під 5, а потім забирає, у свою чергу, 3, 2 і 1. Цією дією він повернув стрижні назад у правильну градацію, але він також виконав ряд арифметичних віднімань, 10 - 4, 10 - 3, 10 - 2, 10 - 1. Навчання справжніх фігур знаменує перехід від стрижнів до процесу лічби окремими одиницями. Коли фігури відомі, вони абстрактно служитимуть тій самій меті, якій стержні служать у бетоні; тобто виступатимуть за  ***об'єднання в одне ціле***  певної кількості окремих одиниць. Синтетичну  ***функцію***  мови та широке поле роботи, яке вона відкриває для інтелекту,  ***демонструє*** , можна сказати, функція  ***фігури*** , якою тепер можна замінити конкретні стрижні. Використання лише справжніх паличок обмежувало б арифметику дрібними операціями в межах десятка або числами трохи вищими, а в побудові розуму ці операції просунулися б трохи далі, ніж межі першого простого й елементарного навчання почуття. Фігура, яка є словом, графічним знаком, дозволить необмежений прогрес, який математичний розум людини зміг зробити в ході своєї еволюції. У матеріалі коробка з гладкими картками, на яких гуммовані вирізані наждачним папером цифри від одного до дев'ятки. Це аналог карток, на яких наждачним папером нанесені літери алфавіту. Методика навчання завжди однакова. Дитину  ***змушують торкатися***  фігурок у тому напрямку, в якому вони написані, і одночасно називати їх. У цьому випадку він робить більше, ніж коли вивчив літери; йому показують, як розмістити кожну фігуру на відповідному стрижні. Коли всі фігури будуть вивчені таким чином, однією з перших вправ буде розмістити картки з числами на стрижнях, розташованих у порядку. Розташовані таким чином, вони утворюють послідовність сходинок, на які приємно розміщувати картки, а діти ще довго повторюють цю розумну гру. Після цієї вправи настає те, що ми можемо назвати «емансипацією» дитини. Він носив із собою власні фігурки, і тепер  ***за допомогою них***  він знатиме, як групувати одиниці.  > Рис. 41.––Лічильні ящики. Для цього в дидактичному матеріалі є серія дерев’яних кілочків, але крім них ми даємо дітям усілякі дрібні предмети – палички, крихітні кубики, фішки тощо. Вправа полягатиме в тому, щоб навпроти фігури поставити кількість предметів, які вона позначає. Дитина для цього може використовувати коробку, яка додається до матеріалу. (Рис. 41.) Ця коробка поділена на відділення, над кожним з яких надрукована фігурка, і дитина ставить у відділення відповідну кількість кілочків. Інша вправа полягає в тому, щоб розкласти всі фігурки на столі і розмістити під ними відповідну кількість кубиків, фішок тощо. Це лише перший крок, і тут було б неможливо говорити про наступні уроки нуля, десятків та інших арифметичних процесів, для розвитку яких необхідно звернутись до моїх великих праць. Однак сам дидактичний матеріал може дати певне уявлення. У коробці з кілочками є одне відділення, на якому надруковано 0. У цей відсік «нічого не можна класти», а потім ми починаємо з  *одного* . Нуль - це ніщо, але він ставиться поруч з одиницею, щоб ми могли порахувати, коли ми переходимо за 9 - отже, 10.  > Рис. 42.––Арифметична рамка. Якщо замість частини 1 взяти частини довжиною стрижня 10, то можна порахувати 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 і 90. У дидактичному матеріалі є рамки з картками. на якому надруковані такі цифри від 10 до 90. Ці цифри закріплені в рамці таким чином, що цифри від 1 до 9 можна просунути в покриття нуля. Якщо нуль 10 покривається 1, результат 11, якщо 2 стає 12, і так далі, до останніх 9. Потім ми переходимо до двадцяти (другий десяток) і так далі, від десяти до десяти . (Рис. 42.) Для початку цієї вправи з картками, на яких позначено десятки, ми можемо використати стрижні. Коли ми починаємо з першої десятки (10) у кадрі, ми беремо стрижень 10. Потім ми розміщуємо малий стрижень 1 поруч із стрижнем 10 і одночасно вставляємо число 1, закриваючи нуль 10. Потім ми знімаємо стержень 1 і цифру 1 від рамки, і ставимо на їх місце стрижень 2 поруч із стрижнем 10, а цифру 2 над нулем у рамці, і так далі, до 9. Щоб просунутися далі, нам потрібно використовувати два стержня по 10, щоб отримати 20. Діти виявляють великий ентузіазм, вивчаючи ці вправи, які вимагають виконання двох комплексів завдань і надають їм чіткості ідеї. --- У письмі й арифметиці ми зібрали плоди кропіткої освіти, яка полягала в координації рухів і отриманні перших знань про світ. Ця культура виникає як природний наслідок перших зусиль людини налагодити розумне спілкування зі світом. Усі ті ранні надбання, які внесли порядок у розум дитини, були б марними, якби вони не були міцно закріплені через письмову мову та образи. Однак, створений таким чином, цей досвід відкриває безмежне поле для майбутньої освіти. Отже, те, що ми зробили, це познайомити дитину з вищим рівнем – рівнем культури – і вона тепер зможе перейти до  ***школи*** , але не до тієї школи, яку ми знаємо сьогодні, де ми, нераціонально, намагаємося дайте культуру розумам, які ще не підготовлені чи  ***освічені сприйняти її*** . Щоб зберегти здоров'я свого розуму, який був  *натренований*  і не  *втомлений*  наказом праці, наші діти повинні мати нову школу для здобуття культури. Мої досліди щодо продовження цього методу для дітей старшого віку вже далеко просунулися. > ##### **Ліцензія цієї сторінки:** > > Ця сторінка є частиною « **Проекту відновлення та перекладу Монтессорі** ». > > Будь ласка  , [підтримайте](https://ko-fi.com/montessori)  нашу ініціативу « **Все включена Монтессорі-освіта для всіх 0-100+ у всьому світі ».** Ми створюємо відкриті, безкоштовні та доступні ресурси, доступні для всіх, хто цікавиться освітою Монтессорі. Ми перетворюємо людей і середовище, щоб вони були справжніми Монтессорі по всьому світу. Дякую тобі! > > [](http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/) > > **Ліцензія:**  цей твір з усіма його відновленими редагуваннями та перекладами ліцензовано за  [міжнародною ліцензією Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0](http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/) . > > Перегляньте  **історію сторінок**  кожної вікі-сторінки в правому стовпчику, щоб дізнатися більше про всіх учасників та редагування, відновлення та переклади, зроблені на цій сторінці. > > [Внески](https://mariamontessori.xyz/s/montessorix/wiki/page/view?title=Contribute+to+Montessori+X)  та  [спонсори](https://mariamontessori.xyz/s/montessorix/wiki/page/view?title=Support+Montessori+X)  вітаються та дуже цінуються! > > ### Сама книга захищена  **ліцензією проекту Гутенберг** > > [https://www.gutenberg.org/policy/license.html](https://www.gutenberg.org/policy/license.html) > > Щоб захистити місію Project Gutenberg-tm щодо сприяння вільному розповсюдженню електронних творів, використовуючи або розповсюджуючи цей твір (або будь-який інший твір, якимось чином пов’язаний із фразою «Проект Gutenberg»), ви погоджуєтеся дотримуватися всіх умов Повна ліцензія проекту Gutenberg-tm доступна разом із цим файлом або онлайн за адресою  [www.gutenberg.org/license](https://www.gutenberg.org/license) > > **Ця електронна книга призначена для будь-кого в Сполучених Штатах і більшості інших частин світу безкоштовно та майже без будь-яких обмежень. Ви можете копіювати, дарувати або повторно використовувати згідно з умовами ліцензії проекту Gutenberg, що входить до цієї електронної книги або онлайн на  [www.gutenberg.org](http://www.gutenberg.org/) . Якщо ви не перебуваєте в Сполучених Штатах, вам доведеться перевірити закони країни, де ви перебуваєте, перш ніж використовувати цю електронну книгу.** > > Прочитайте цю книгу на… > > **[Проект Гутенберг](https://www.gutenberg.org/)** > > * [https://www.gutenberg.org/ebooks/29635](https://www.gutenberg.org/ebooks/29635) > > **[Archive.org](http://archive.org/)** > > * [https://archive.org/details/drmontessorisow01montgoog/](https://archive.org/details/drmontessorisow01montgoog/) > > * [https://archive.org/details/drmontessorisown01mont/](https://archive.org/details/drmontessorisown01mont/) > > * [https://archive.org/details/drmontessorisown00mont](https://archive.org/details/drmontessorisown00mont) > > * [https://archive.org/details/drmontessorisown29635gut](https://archive.org/details/drmontessorisown29635gut) > > **[Guides.co](https://guides.co/)** > > * [https://guides.co/g/montessori-handbook/31826](https://guides.co/g/montessori-handbook/31826) * [Власний посібник доктора Монтессорі](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/English "Власний посібник доктора Монтессорі") - Англійська реставрація - [Archive.Org](https://archive.org/details/drmontessorisown01mont/page/n5/mode/2up "Власний посібник доктора Монтессорі на Archive.Org") - [Проект Гутенберг](https://www.gutenberg.org/ebooks/29635 "Власний посібник доктора Монтессорі про проект Гутенберг") * [0 - Покажчик розділів - Власний посібник доктора Монтессорі - Відновлення](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/0+-+Chapter+Index+-+Dr.+Montessori%27s+Own+Handbook+-+Restoration) * [Розділ 00 – Присвята, подяка, передмова](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/Chapter+00+%E2%80%93+Dedication%2C+Acknowledgements%2C+Preface) * [Розділ 01 - Вступ - Дім дитини - Метод](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/Chapter+01+-+Introduction+-+Children%27s+House+-+The+Method) * [Розділ 02 - Рухова освіта](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/Chapter+02+-+Motor+Education) * [Розділ 03 - Сенсорне виховання](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/Chapter+03+-+Sensory+Education) * [Розділ 04 - Мова та пізнання світу](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/Chapter+04+-+Language+and+Knowledge+of+the+World) * [Розділ 05 - Читання нот](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/Chapter+05+-+The+Reading+of+Music) * [Розділ 06 - Арифметика](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/Chapter+06+-+Arithmetic) * [Розділ 07 - Моральні фактори](https://montessori-international.com/s/montessoris-own-handbook/wiki/Chapter+07+-+Moral+Factors)