O Método Montessori, 2ª Edição - Restauração # Capítulo 19 - Ensino da numeração, introdução da aritmética Crianças de três anos já sabem contar até dois ou três quando entram em nossas escolas. Eles, portanto,   aprendem  ***com muita facilidade a numeração, que consiste em contar objetos** .*  Uma dúzia de maneiras diferentes pode servir para esse fim, e a vida cotidiana apresenta muitas oportunidades; quando a mãe diz, por exemplo: "Faltam dois botões no seu avental" ou "Precisamos de mais três pratos na mesa". Um dos primeiros meios usados ​​por mim é o de contar com dinheiro. Consigo  dinheiro ***novo***  e, se fosse possível, teria boas reproduções feitas em papelão. Já vi esse dinheiro ser usado em uma escola para deficientes em Londres. A  ***mudança***  é uma forma de numeração tão atraente que prende a atenção da criança. Apresento as peças de um, dois e quatro cêntimos, e as crianças, desta forma, aprendem a contar até  ***dez** .* Nenhuma forma de instrução é mais  ***prática***  do que aquela que tende a familiarizar as crianças com as moedas de uso comum, e nenhum exercício é mais útil do que o de fazer troco. Está tão intimamente relacionado com a vida quotidiana que interessa a todas as crianças intensamente. Tendo ensinado a numeração neste modo empírico, passo a exercícios mais metódicos, tendo como material didático um dos conjuntos de blocos já utilizados na educação dos sentidos; ou seja, a série de dez hastes até agora usadas para o ensino do comprimento. A mais curta dessas hastes corresponde a um decímetro, a mais longa a um metro, enquanto as hastes intermediárias são divididas em seções de um decímetro de comprimento. As seções são pintadas alternadamente em vermelho e azul.  Um dia, quando uma criança tiver arranjado as varas, colocando-as em ordem de comprimento, nós a fazemos contar os sinais vermelhos e azuis, começando pelo menor pedaço; isto é, um; um dois; um, dois, três, etc., sempre voltando a um na contagem de cada vareta, e começando pelo lado A. Em seguida, ele nomeia as varetas simples da mais curta para a mais longa, de acordo com o número total de seções que cada um contém, tocando as hastes do lado B, de que lado sobe a escada. Isso resulta na mesma numeração de quando contamos a haste mais longa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Desejando saber o número de hastes, contamos do lado A e o mesmo resultados de numeração; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Agora unimos os exercícios de  ***numeração***  com os exercícios sensoriais anteriores, nos quais a criança reconhecia as hastes longas e curtas. Tendo misturado as varas sobre um tapete, a diretora escolhe uma e, mostrando-a à criança, faz com que ela conte as seções; por exemplo, 5. Ela então pede a ele que lhe dê o próximo em comprimento. Ele a seleciona  ***a olho nu*** , e a diretora faz com que ele  ***verifique***  sua escolha  ***colocando as duas peças lado a lado e contando suas seções** .*  Tais exercícios podem ser repetidos em grande variedade e através deles, a criança aprende a atribuir um  ***nome particular a cada uma das peças da longa escada.** .* Podemos agora chamá-los de peça número um; peça número dois, etc., e finalmente, por brevidade, pode falar deles nas lições como um, dois, três, etc. ## [19.1 Números representados por sinais gráficos](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Chapter+19+-+Teaching+of+numeration%3A+Introduction+to+arithmetic#19.1-numbers-as-represented-by-graphic-signs 'Link para o Texto Base de Tradução do Montessori.Zone "O Método Montessori"') Nesse ponto, se a criança já souber escrever, podemos apresentar as figuras recortadas em lixa e montadas em cartões. Na apresentação destes, o método é o mesmo utilizado no ensino das letras. "Isso é um." "Isso é dois." "Me dê um." "Dê-me dois." "Que  *número*  é esse?" A criança traça o número com o dedo enquanto fazia as letras. ***Exercícios com Números** .*  Associação do sinal gráfico com a quantidade. Eu projetei duas bandejas, cada uma dividida em cinco pequenos compartimentos. Na parte de trás de cada compartimento pode ser colocado um cartão com uma figura. Os números na primeira bandeja devem ser 0, 1, 2, 3, 4 e na segunda, 5, 6, 7, 8 e 9. O exercício é óbvio; consiste em colocar dentro dos compartimentos alguns objetos correspondentes à figura indicada no cartão no verso do compartimento. Damos às crianças vários objetos para variar a aula, mas principalmente usamos grandes cavilhas de madeira de tal forma que não rolam da mesa. Colocamos alguns deles diante da criança que tem a função de arrumá-los em seus lugares, um pino correspondente ao cartão marcado, etc. Quando ele termina, ele leva sua bandeja à diretora para que ela verifique seu trabalho. ***A Lição do Zero** .*  Esperamos até que a criança, apontando para o compartimento que contém o cartão marcado com zero, pergunte: "E o que devo colocar aqui?" Em seguida, respondemos: "Nada; zero não é nada". Mas muitas vezes isso não é suficiente. É preciso fazer com que a criança  ***sinta***  o que queremos dizer com  ***nada** .*  Para isso, fazemos uso de pequenos jogos que divertem muito as crianças. Eu estou no meio deles e, virando-me para um deles que já usou este material, digo: "Venha, querida, venha a mim  ***zero***  vezes". A criança quase sempre vem até mim e depois volta correndo para o seu lugar. "Mas, meu garoto, você veio  ***uma***  vez, e eu disse para você vir  ***zero*** vezes." Então ele começa a se perguntar. "Mas o que devo fazer, então?" "Nada; zero não é nada." "Mas como não vou fazer nada?" "Não faça nada. Você deve ficar parado. Você não deve vir de jeito nenhum, a qualquer hora. Zero vezes. Nenhuma vez." Repito esses exercícios até que as crianças entendam, e elas ficam imensamente divertidas em permanecerem quietas quando eu as chamo para vir até mim zero vezes ou me dar zero beijos. Elas muitas vezes gritam: "Zero é nada! Zero não é nada!" ## [19.2 Exercícios para a memória dos números](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Chapter+19+-+Teaching+of+numeration%3A+Introduction+to+arithmetic#19.2-exercises-for-the-memory-of-numbers 'Link para o Texto Base de Tradução do Montessori.Zone "O Método Montessori"') Quando as crianças reconhecem a figura escrita, e quando esta figura significa para elas o valor numérico, dou-lhes o seguinte exercício: Recorto as figuras de calendários antigos e coloco-as em pedaços de papel que são dobrados e colocados em uma caixa. As crianças tiram as tiras e as carregam ainda dobradas, até seus assentos, onde as olham e as dobram novamente,  ***conservando o segredo** .*  Depois, uma a uma, ou em grupos, estas crianças (que são naturalmente as mais velhas da turma) dirigem-se à grande mesa da directora onde foram colocados grupos de vários pequenos objectos. Cada um seleciona a  ***quantidade***  de objetos correspondente ao número que desenhou. O número, entretanto, foi deixado  ***na casa da criança*** , um pedaço de papel misteriosamente dobrado. A criança, portanto, deve  ***se lembrar*** seu número não só durante os movimentos que faz de ida e volta, mas enquanto recolhe suas peças, contando-as uma a uma. A diretora pode aqui fazer observações individuais interessantes sobre a memória numérica. Quando a criança recolhe seus objetos, ela os organiza em sua própria mesa, em colunas de dois, e se o número for ímpar, ela coloca a peça ímpar no fundo e entre os dois últimos objetos. A disposição das peças é, portanto, a seguinte: ``` o o o o o o o o o o X XX XX XX XX XX XX XX XX XX X XX XX XX XX XX XX XX X XX XX XX XX XX X XX XX XX X XX ``` As cruzes representam os objetos, enquanto o círculo representa o papel dobrado que contém a figura. Tendo organizado seus objetos, a criança aguarda a verificação. A diretora chega, abre a ficha, lê o número e conta as peças. Quando jogamos pela primeira vez esse jogo, muitas vezes acontecia que as crianças pegavam  ***mais objetos***  do que o solicitado na carta, e isso nem sempre era porque não se lembravam do número, mas surgiam de uma mania de ter o maior número de objetos. Um pouco daquela ganância instintiva, que é comum ao homem primitivo e inculto. A diretora procura explicar às crianças que é inútil ter todas essas coisas sobre a mesa e que o objetivo do jogo é pegar o número exato de objetos solicitados. Pouco a pouco, eles entram nessa ideia, mas não tão facilmente como se poderia supor. É um verdadeiro esforço de abnegação que mantém a criança dentro do limite estabelecido e a faz pegar, por exemplo, apenas dois dos objetos colocados à sua disposição, enquanto vê outros pegando mais. Eu, portanto, considero este jogo mais um exercício de força de vontade do que de numeração. A criança que tem o  ***zero*** , não deve sair de seu lugar quando vir todos os seus companheiros levantando-se e tomando livremente os objetos que lhe são inacessíveis. Muitas vezes o zero recai sobre uma criança que sabe contar perfeitamente, e que sentiria grande prazer em acumular e dispor um belo conjunto de objetos na ordem correta sobre sua mesa, e aguardar com segurança a verificação do professor. O mais interessante é estudar as expressões nos rostos daqueles que possuem zero. As diferenças individuais resultantes são quase uma revelação do "caráter" de cada um. Alguns permanecem impassíveis, assumindo uma fachada ousada para esconder a dor da decepção; outros mostram essa decepção por gestos involuntários. Ainda assim, outros não podem esconder o sorriso que é suscitado pela situação singular em que se encontram e que deixará seus amigos curiosos. Há pequeninos que acompanham cada movimento de seus companheiros com um olhar de desejo, quase de inveja, enquanto outros mostram aceitação instantânea da situação. Não menos interessantes são as expressões com que confessam a posse do zero quando perguntados durante a verificação, "e você, não levou nada?" "Eu tenho zero." "É nulo." Estas são as palavras usuais, mas o rosto expressivo e o tom da voz mostram sentimentos amplamente variados. Raros, de fato, são aqueles que parecem dar com prazer a explicação de um fato extraordinário. A maioria parece infeliz ou simplesmente resignada. Nós, portanto, damos lições sobre o significado do jogo, dizendo: "É difícil guardar zero segredos. Dobre bem o papel e não o deixe escapar. É o mais difícil de todos." De fato, depois de um tempo, a própria dificuldade de ficar quieta atrai as crianças, e quando elas abrem a ficha marcada com zero, percebe-se que elas se contentam em guardar o segredo. ## [19.3 Adição e subtração de um a vinte: multiplicação e divisão](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Chapter+19+-+Teaching+of+numeration%3A+Introduction+to+arithmetic#19.3-addition-and-subtraction-from-one-to-twenty%3A-multiplication-and-division 'Link para o Texto Base de Tradução do Montessori.Zone "O Método Montessori"') O material didático que utilizamos para o ensino das primeiras operações aritméticas é o mesmo já utilizado para a numeração; isto é, as hastes graduadas em comprimento que, dispostas na escala do metro, contêm a primeira ideia do sistema decimal. As varas, como disse, passaram a ser chamadas pelos números que representam; um, dois, três, etc. Eles estão dispostos em ordem de comprimento, que também está em ordem de numeração. O primeiro exercício consiste em tentar juntar as peças mais curtas de forma a formar dezenas. A maneira mais simples de fazer isso é pegar sucessivamente as hastes mais curtas, de um para cima, e colocá-las no final das hastes longas correspondentes de nove para baixo. Isso pode ser acompanhado pelos comandos: "Pegue um e adicione nove; pegue dois e adicione oito; pegue três e adicione sete; pegue quatro e adicione seis". Desta forma, fazemos quatro hastes iguais a dez. Restam os cinco, mas, virando-o de cabeça para baixo (no sentido longo), passa de uma extremidade da dezena à outra, e assim torna claro o fato de que duas vezes cinco são dez. Esses exercícios são repetidos e aos poucos a criança aprende a linguagem mais técnica; nove mais um igual a dez, oito mais dois igual a dez, sete mais três igual a dez, seis mais quatro igual a dez, e para o cinco, que resta, duas vezes cinco igual a dez. Por fim, se ele sabe escrever, ensinamos os sinais de  *mais , de igual*  e   de  *tempos.*  Então é isso que vemos nos cadernos arrumados dos nossos pequeninos: ``` 9+1=10 8+2=10 5x2=10 7+3=10 6+4=10 ``` Quando tudo isso é bem aprendido e colocado no papel com grande prazer pelas crianças, chamamos a atenção para o trabalho que é feito quando as peças agrupadas para formar dezenas são desmontadas e recolocadas em suas posições originais. Dos dez últimos formados tiramos quatro e seis restos; do seguinte, tiramos três e sete restos; do seguinte, restam dois e oito; do último, tiramos um e nove restos. Falando bem disso, dizemos que dez menos quatro é igual a seis; dez menos três é igual a sete; dez menos dois é igual a oito; dez menos um é igual a nove. Quanto aos cinco restantes, é a metade de dez, e cortando a vara longa em dois, ou seja, dividindo dez por dois, teríamos cinco; dez dividido por dois é igual a cinco. O registro escrito de tudo isso diz: ``` 10-4=6 10-3=7 10 / 2=5 10-2=8 10-1=9 ``` Uma vez que as crianças dominam este exercício, elas o multiplicam espontaneamente. Podemos fazer três de duas maneiras? Colocamos o um depois do dois e depois escrevemos, para que possamos lembrar o que fizemos, 2+1=3. Podemos fazer duas hastes iguais ao número quatro? 3+1=4 e 4-3=1; 4-1=3. A vara número dois em sua relação com a vara número quatro é tratada como cinco em relação a dez; ou seja, viramos e mostramos que está contido em quatro exatamente duas vezes: 4/2=2; 2x2=4. Outro problema: vejamos com quantas varas podemos jogar este mesmo jogo. Podemos fazer com três e seis, e com quatro e oito; isso é, ``` 2x2=4 3x2=6 4x2=8 5x2=10 10/2=5 8/2=4 6/2=3 4/2=2 ``` Neste ponto, descobrimos que os cubos com os quais jogamos os jogos de memória numérica são de ajuda:  A partir deste arranjo, vê-se imediatamente quais são os números que podem ser divididos por dois todos aqueles que não têm um cubo ímpar na parte inferior. Esses são os  números ***pares***  porque podem ser dispostos em pares, dois a dois; e a divisão por dois é fácil, basta separar as duas linhas de dois que ficam uma embaixo da outra. Contando os cubos de cada arquivo temos o quociente. Para recompor o número primitivo precisamos apenas remontar os dois arquivos assim 2x3=6. Tudo isso não é difícil para crianças de cinco anos. A repetição logo se torna monótona, mas os exercícios podem ser alterados com mais facilidade, pegando novamente o conjunto de hastes longas e, em vez de colocar a haste número um depois de nove, coloque-a depois de dez. Da mesma forma, coloque dois depois de nove e três depois de oito. Desta forma fazemos varas de comprimento maior que dez; comprimentos que devemos aprender a nomear onze, doze, treze, etc., até vinte. Os pequenos cubos também podem ser usados ​​para fixar esses números mais altos Tendo aprendido as operações até dez, passamos sem dificuldade para vinte. A única dificuldade está nos  ***números decimais***  que requerem certas lições. ## [19.4 Lições sobre decimais: cálculos aritméticos além de dez](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Chapter+19+-+Teaching+of+numeration%3A+Introduction+to+arithmetic#19.4-lessons-on-decimals%3A-arithmetical-calculations-beyond-ten 'Link para o Texto Base de Tradução do Montessori.Zone "O Método Montessori"') O material didático necessário consiste em um número de cartões quadrados sobre os quais o número dez é impresso em tipo grande, e outros cartões retangulares, com metade do tamanho do quadrado, e contendo os números únicos de um a nove. Colocamos os números em uma linha; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Então, não tendo mais números, devemos começar de novo e pegar o 1 novamente. Este 1 é como aquela seção no conjunto de hastes que, na haste número 10, se estende além do nove. Contando junto  ***da escada*** até nove, resta esta seção que, como não há mais números, designamos novamente como 1; mas este é um 1 mais alto que o primeiro, e para distingui-lo do primeiro colocamos perto dele um zero, um sinal que não significa nada. Aqui, então, está 10. Cobrindo o zero com os cartões de números retangulares separados na ordem de sua sucessão, vemos formados: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Esses números são compostos por adição à barra número 10, primeira vara número 1, depois 2, depois 3, etc., até que finalmente adicionamos a vara número 9 à vara número 10, obtendo assim uma vara muito longa, que, ao alternar as seções vermelhas e azuis, dá nós dezenove.  A diretora pode então mostrar à criança os cartões, dando o número 16, e ele pode colocar o bastão 6 após o bastão 10. Ela então tira o cartão do 6 e coloca sobre o zero o cartão do número 8, então a criança retira a haste 6 e a substitui pela haste 8, fazendo assim 18. Cada um desses atos pode ser registrado assim: 10+6=16; 10+8=18, etc. Procedemos da mesma forma para a subtração. Quando o próprio número começa a ter um significado claro para a criança, as combinações são feitas em um cartão comprido, organizando os cartões retangulares com os nove algarismos sobre as duas colunas de números mostradas nas figuras A e B. Sobre o cartão A sobrepomos ao zero do segundo 10, o cartão retangular com o 1: e sob este o um com dois, etc. Assim, enquanto um dos dez permanece o mesmo, os números à direita vão de zero a nove, portanto:  No cartão B as aplicações são mais complexas. As cartas são sobrepostas em progressão numérica por dezenas. Quase todos os nossos filhos contam até 100, número que lhes foi dado em resposta à curiosidade que demonstraram em aprendê-lo. Não acredito que esta fase do ensino precise de mais ilustrações. Cada professor pode multiplicar os exercícios práticos nas operações aritméticas, utilizando objetos simples que as crianças possam manipular e dividir facilmente. > ##### **A Licença desta página:** > > Esta página faz parte do “ **Projeto Montessori de Restauração e Tradução** ”.\ > Por favor [, apoie](https://ko-fi.com/montessori) nossa iniciativa “ **All-Inclusive Montessori Education for All 0-100+ Worldwide ”.** Criamos recursos abertos, gratuitos e acessíveis para todos os interessados ​​na Educação Montessori. Transformamos pessoas e ambientes para serem autênticos Montessori em todo o mundo. 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Discurso inaugural proferido por ocasião da inauguração de uma das “Casas da Criança”](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+03+-+Discurso+inaugural+proferido+por+ocasi%C3%A3o+da+inaugura%C3%A7%C3%A3o+de+uma+das+%E2%80%9CCasas+da+Crian%C3%A7a%E2%80%9D) * [Capítulo 04 - Métodos Pedagógicos Utilizados nas “Casas da Criança”](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+04+-+M%C3%A9todos+Pedag%C3%B3gicos+Utilizados+nas+%E2%80%9CCasas+da+Crian%C3%A7a%E2%80%9D) * [Capítulo 06 - Como a aula deve ser dada](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+06+-+Como+a+aula+deve+ser+dada) * [Capítulo 07 - Exercícios para a Vida Prática](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+07+-+Exerc%C3%ADcios+para+a+Vida+Pr%C3%A1tica) * [Capítulo 08 - Reflexão sobre a alimentação da criança](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+08+-+Reflex%C3%A3o+sobre+a+alimenta%C3%A7%C3%A3o+da+crian%C3%A7a) * [Capítulo 09 - Ginástica de educação muscular](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+09+-+Gin%C3%A1stica+de+educa%C3%A7%C3%A3o+muscular) * [Capítulo 10 - A natureza na educação do trabalho agrícola: Cultura de plantas e animais](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+10+-+A+natureza+na+educa%C3%A7%C3%A3o+do+trabalho+agr%C3%ADcola%3A+Cultura+de+plantas+e+animais) * [Capítulo 11 - Trabalho manual a arte do oleiro, e construção](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+11+-+Trabalho+manual+a+arte+do+oleiro%2C+e+constru%C3%A7%C3%A3o) * [Capítulo 12 - Educação dos sentidos](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+12+-+Educa%C3%A7%C3%A3o+dos+sentidos) * [Capítulo 13 - Educação dos sentidos e ilustrações do material didático: Sensibilidade geral: Os sentidos tátil, térmico, básico e estereognóstico](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+13+-+Educa%C3%A7%C3%A3o+dos+sentidos+e+ilustra%C3%A7%C3%B5es+do+material+did%C3%A1tico%3A+Sensibilidade+geral%3A+Os+sentidos+t%C3%A1til%2C+t%C3%A9rmico%2C+b%C3%A1sico+e+estereogn%C3%B3stico) * [Capítulo 14 - Notas gerais sobre a educação dos sentidos](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+14+-+Notas+gerais+sobre+a+educa%C3%A7%C3%A3o+dos+sentidos) * [Capítulo 15 - Educação intelectual](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+15+-+Educa%C3%A7%C3%A3o+intelectual) * [Capítulo 16 - Método para o ensino da leitura e da escrita](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+16+-+M%C3%A9todo+para+o+ensino+da+leitura+e+da+escrita) * [Capítulo 17 - Descrição do método e material didático utilizado](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+17+-+Descri%C3%A7%C3%A3o+do+m%C3%A9todo+e+material+did%C3%A1tico+utilizado) * [Capítulo 18 - Linguagem na infância](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+18+-+Linguagem+na+inf%C3%A2ncia) * [Capítulo 19 - Ensino da numeração: Introdução à aritmética](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+19+-+Ensino+da+numera%C3%A7%C3%A3o%3A+Introdu%C3%A7%C3%A3o+%C3%A0+aritm%C3%A9tica) * [Capítulo 20 - Sequência de exercícios](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+20+-+Sequ%C3%AAncia+de+exerc%C3%ADcios) * [Capítulo 21 - Revisão geral da disciplina](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+21+-+Revis%C3%A3o+geral+da+disciplina) * [Capítulo 22 - Conclusões e impressões](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+22+-+Conclus%C3%B5es+e+impress%C3%B5es) * [Capítulo 23 - Ilustrações](https://montessori-international.com/s/the-montessori-method/wiki/Cap%C3%ADtulo+23+-+Ilustra%C3%A7%C3%B5es)